傅里叶变换图像识别系统

光学联合变换相关器是一种基于傅里叶变换理论的光信息处理系统，它可以从给定的众多目标信息中提取所需要的信息或检测某一特定信息，已广泛的应用于光学图像识别领域；目前，联合傅里叶变换相关处理器，在指纹识别、字符识别、目标识别及生物细胞识别等领域已经进入了实用化阶段。本文首先介绍傅里叶联合变换图像识别技术的原理。其次，基于马赫-曾德尔干涉仪原理，用空间光调制器(SLM)、CMOS以及一些常用光学元器件，搭建了一套光电混合实时傅里叶联合变换相关系统，实现对相同和不同字符等简单目标的识别并获得它们的联合功率谱和相关峰图片。

假设f(x+a,y)与g(x-a,y)是参与互相关运算的两个透明物体，中心位置位于(a,0)，根据傅里叶变换基本原理，它们的联合傅里叶变换频谱如下：

\( S(u,v) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {[f(x + a,y) + g(x - a,y)]exp[ - i\frac{{2\pi }}{{\lambda f}}(xu + yv)]dxdy} } \)

根据傅里叶变换的线性定理和相移定理，可以得到：

\( S(u,v) = exp[i\frac{{2\pi }}{{\lambda f}}au]F(u,v) + exp[ - i\frac{{2\pi }}{{\lambda f}}au]G(u,v) \)

其中，

\( F(u,v) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x,y)exp[ - i\frac{{2\pi }}{{\lambda f}}(xu + yv)]dxdy} } \)

\( G(u,v) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(x,y)exp[ - i\frac{{2\pi }}{{\lambda f}}(xu + yv)]dxdy} } \)

其联合傅里叶功率谱为:

\( \left| {S(u,v)} \right|^2 = \left| {F(u,v)} \right|^2 + \left| {G(u,v)} \right|^2 + e^{i\frac{{4\pi }} {{\lambda f}}au} F(u,v)G^* (u,v) + e^{ - i\frac{{4\pi }} {{\lambda f}}au} F^* (u,v)G(u,v) \)

如果对功率谱进行傅里叶变换，则有：

\( O(\xi ,\eta ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {S(u,v)} \right|^2 e^{ - i\frac{{2\pi }} {{\lambda f}}(\xi u,\eta v)} dudv} } \)

将功率谱|S(u,v)|²代入上式，可以得到以下四项：

\( {\rm{ }}O{\rm{ = }}O_1 {\rm{ + }}O_{\rm{2}} {\rm{ + }}O_{\rm{3}} {\rm{ + }}O_{\rm{4}} \)

                                                                                \( O_1 (\xi ,\eta ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {F(u,v)} \right|^2 e^{-i\frac{{2\pi }}{{\lambda f}}} (\xi u,\eta v)dudv} } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(\alpha ,\beta )f^* (\alpha - \xi ,\beta - \eta )d\alpha d\beta } } \)

                                                                                \( O_2 (\xi ,\eta ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {G(u,v)} \right|^2 e^{ - i\frac{{2\pi }} {{\lambda f}}} (\xi u,\eta v)dudv} } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(\alpha ,\beta )g^* (\alpha - \xi ,\beta - \eta )d\alpha d\beta } } \)

                                                                                \( O_3 (\xi ,\eta ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {e^{i\frac{{4\pi }} {{\lambda f}}au} F(u,v)G^* (u,v)e^{ - i\frac{{2\pi }} {{\lambda f}}(\xi u + \eta v)} dudv} } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(\alpha ,\beta )g^* [\alpha - (\xi + 2a),\beta - \eta ]d\alpha d\beta } } \)

                                                                                \( O_4 (\xi ,\eta ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {e^{ - i\frac{{4\pi }}{{\lambda f}}} auF^* (u,v)G(u,v)e^{-i\frac{{2\pi }}{{\lambda f}}(\xi u + \eta v)} dudv} } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(\alpha ,\beta )f^* [\alpha - (\xi - 2a),\beta - \eta ]d\alpha d\beta } } \)

其中，O₁及O₂分别为f(x,y)和g(x,y)的自相关项，它们一起重合在输出面的中心，称为零级项；O₃与O₄为f(x,y)和g(x,y)的互相关项，反映了相关输出信号，它们在输出平面上沿\( \xi \) 轴分别平移-2a，+2a的距离，与中心零级项分离。简而言之，如果参与互相关运算的这两个物体相关性较强，则在输出的相关图像中会出现强度明显的相关峰图像。反之若物体相关性弱，则相关峰强度不明显或者不出现相关峰图像。

本文对搭建的傅里叶变换图像识别实验装置进行了验证具体光路如图1所示，所采用的待识别物为印有不同字符的菲林片。

图1 傅里叶变换图像识别实验装置光路图

搭建好实验光路后我们开始观察实验现象：

(1)  首先，将一对待识别的透明图像分别放置在马赫-曾德尔干涉仪两条光分路中，在分光镜后方可观察到两个待识别图像。本文采用了相同图案与不同图案进行对比实验。

图2 相同图案（左）与不同图案（右）投影图像

(2)  放置透镜统一将待识别图像进行傅里叶变换，在后方CMOS1靶面可得到联合傅里叶变换频谱，此时可适当调节光源亮度，使观察到的频谱图象具有较为明显的干涉条纹。

图3 CMOS1观察到的联合傅里叶变换频谱，相同图案频谱（左）与不同图案频谱（右）

(3)  然后使用CMOS1将联合傅里叶频谱转化为联合变换功率谱，并将功率谱通过计算机输出到液晶空间光调制器，调整空间光调制器图像位置，使光斑尽量与图像重合。

(4)  空间光调制器中的功率谱图像再经过透镜的傅里叶逆变换形成相关输出，输出图像由CMOS2接收并判别图像相关性，可以发现，相同识别图像形成的相关输出中相关峰较为明显，不同图像形成的相关峰强度较为暗淡，这与前文给出的傅里叶相关运算理论结论相符：

图4 CMOS2观察到的相关输出图像，相同图案相关输出（左）与不同图案相关输出（右）

       在系统搭建和图像验证的过程中有以下几点需要注意：

1.  两个待识别透明物体到傅里叶变换透镜的光程应相等，并等于后方透镜的1倍焦距；

2.  两傅里叶变换透镜与后方CMOS靶面的距离需为1倍焦距；

3.  空间光调制器液晶平面与后方透镜距离需为1倍焦距；

4.  在CCD1将联合傅里叶频谱转化为联合变换功率谱时，调整光亮度或CMOS参数，使频谱图像可见明显干涉条纹，有助于观察到更加准确的相关图像。

参考文献

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• [2] R.L.Wang，Combination of FT and WT for fingerprint recognition[J].Wavelet Application,1994(2242):260-270.
• [3] A.K.Alqallaf，DNA sequencing using optical joint Fourier transform[J].Optik.2016(127):1929-1936.

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