渐变折射率透镜

一、定义  

      渐变折射率透镜是一种折射率分布沿径向渐变的柱状光学透镜，具有聚焦和成像功能。光线在空气中传播遇到不同介质时，介质的折射率不同会导致其传播方向改变。渐变折射率透镜材料折射率沿着径向逐渐减小，从而达到聚焦、准直或成像目的。

二、特点

  1. 材料：渐变折射率材料

  2. 尺寸：1.8 mm

  3. 用途：聚焦，准直，成像

三、说明

     渐变折射率透镜材料折射率沿着径向逐渐减小，具体公式如下所示

\( N(r)=N_{0} (1-\frac{A}{2} r^{2} ) \)

公式中，\( N(r) \) 表示在此\( r \) 点的折射率，\( N_{0} \) 表示中心折射率，\( r \) 为透镜半径，\( \sqrt{A} \) 表示折射率梯度常数。

     由于折射率不同，所以光线在渐变折射率透镜内部光线传播可视为一个正弦函数传播，如下图所示。

                                                                                                                            图1 渐变折射率透镜光线传播示意图

    为了达到我们想要的聚焦，准直或者是成像的目的，我们会控制透镜的长度，使其出射时达到我们想要的目的，为此我们引入节距(P)概念。

                                                                                            1\( P \) ＝光束沿正弦轨迹传播的一个正弦波周期的长度

 图2 渐变折射率不同长度光线传播示意图

其中\( Z \) 代表透镜长度，\( P \) 代表一个周期运动长度：

                    \( P=\frac{2\pi }{\sqrt{A} } \)

         其他重要参数公式：

                     \( F=\frac{1}{n_{0}\sqrt{A}\sin (\sqrt{A}z) } \)   

                    \( NA=\sqrt{n_{0}^{2}- n_{R}^{2} } =n_{0}\sqrt{1-\operatorname{sech} ^{2}(\sqrt{Ad}/2) } \)

其中\( P \) 为节距，\( \sqrt{A} \) 表示折射率梯度常数，\( F \) 为焦距，\( n_{0} \) 表示中心折射率，\( z \) 为长度，\( n_{R} \) 代表透镜的边缘折射率，\( d \) 为透镜的直径（圆柱）或者是厚度（方形）。

       在已知折射率梯度常数和中心折射率的情况下，通过公式我们就可以算出其节距长度，以及理论焦距。

四、渐变折射率透镜的基本应用

    1. 聚焦：

         对于0.25P长度的透镜时，当一面输入平行光在另一面端面上会进行聚焦，如图所示

                                                                                                                                      图3 0.23节距聚焦示意图

    2. 准直：

     同样对于0.25P长度透镜时，当一面输入为一汇聚点光源时，就会呈现出准直效果。  

                                                                                                                             图4 0.23节距准直示意图

   3. 成像：

    不同成像需求可以通过选择不同的透镜长度Z来实现。在选取等于0.5节距长度透镜时，成像时可以得到一个倒立等大的实像；选取大于0.5节距的透镜，我们可以得到一个倒立缩小的实像，如下图所示。

                                                                                                                                 图5 渐变折射率成像示意图