球差（Spherical Aberration）是光学系统中最常见的像差，广泛存在于球面光学系统中。

图1 球差对图像清晰度的影响

当光束射向球面透镜时，近轴光线和边缘光线由于入射角不同，经折射后会聚焦在光轴上的不同位置，导致点光源不再成理想的点像，而是形成一个弥散斑，弥散斑的大小直接反映球差的严重程度，是影响成像清晰度的主要因素之一。

图2 球差与弥散斑

○ 球差是轴上点特有像差：对于单色光成像，球差是轴上点唯一存在的单色像差类型，而轴外点还会受到彗差、像散等其他像差影响。

○ 球差具有孔径依赖特性：球差仅是光学系统孔径的函数，大孔径系统尤其容易受其影响。

○ 理解球差的核心：在于把握其与理想成像的偏差机制，从物点发出与光轴成不同角度 U 的光线经透镜折射后，折射光线与光轴交于不同位置 L'，其与理想高斯像点 l' 的轴向距离 δL'=L'-l' 即为球差。

○ 球差的符号规则：正透镜（凸透镜）产生负球差（δL'<0），即边缘光线焦点位于近轴光线焦点左侧；负透镜（凹透镜）产生正球差（δL'>0）。

球差的形成原因

球差产生的根本原因在于球面折射的固有几何特性。当平行于光轴的光线入射到球面透镜时，根据斯涅尔折射定律（n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂），透镜不同区域对光线的折射程度存在显著差异：

• 近轴区域（光线高度 h 较小）：入射角 θ₁ 接近 0°，sinθ₁≈θ₁，此时折射遵循近轴近似，光线准确聚焦于理想焦点。
• 边缘区域（ h 较大）：入射角 θ₁显著增大，sinθ₁ 与 θ₁ 的非线性差异导致折射过度，使边缘光线偏离理想路径。

球差的类型

图3 轴上点球差示意图

• 轴向球差：定义为实际边缘光线焦点与近轴理想焦点沿光轴方向的距离差。其符号规则约定为：若实际焦点位于理想焦点右侧（沿光线方向）则为正，反之为负。用  δL' 表示
• 垂轴球差：指在高斯像平面上，实际光线交点与主光线交点之间的径向距离。垂轴球差直接决定了像面上的弥散斑大小，是评价成像分辨率的关键参数。用 δT' 表示

球差的数学表述

球差是入射高度 h1 或孔径角 U1 的函数，其变化规律可由 h1 或 U1 的偶次幂级数表示。球差具有以下特征：

1、球差具有轴对称性，当 h1 或 U1 变号时，球差 δL′ 保持不变，故级数展开式中不含 h1 或 U1 的奇次项。
2、当 h1 或 U1 为 0 时，像方截距 L’=l’，此时球差为 0 ，因此展开式中无常数项。
3、球差是轴上点像差，与视场无关，所以展开式中没有 y 或 ω 项。

综上所述，轴向球差可以表达为：

展开式中第一项被称为初级球差，第二项为二级球差，第三项为三级球差。A1、A2、A3 分别为初级球差系数，二级球差系数、三级球差系数[3]。

由公式（3）和（4）可知，初级球差与孔径的平方成正比，二级球差与孔径的四次方成正比，因此小孔径系统中初级球差占主导，大孔径系统中高级球差也相当重要。常见光学系统可以忽略二级以上的球差，因此球差也可以表示为：

光学系统的总球差为系统每个折射面对球差的贡献之和，即所谓的球差分布式：

其中为系统球差系数，S₋为每个面上的球差分布系数

初级球差在光轴附近适用，因该区域角度极小，此时角度正弦可等价为弧度值，余弦值取1作为近似处理，基于此，初级球差表达式可简化为：

因此初级球差分布系数可表达为

球差对成像质量的影响

在光学实验和成像系统设计中，球差会对成像质量造成直接影响：

1、成像模糊
由于不同孔径区域的光线不能汇聚到同一个像点，点光源成像时会在像面形成弥散斑而非清晰的亮点，图像整体变得柔和、缺乏锐度。

2、分辨率下降
点扩散（PSF）函数扩大，图像相邻细节难以区分，尤其是在高分辨率要求下（如显微成像、远距离拍摄等）球差会严重限制图像清晰度。

3、焦点不唯一，调焦困难
球差导致焦点分布沿光轴延展，即使调节像面也难以使整个图像都处于清晰状态，只能在模糊的像面中找到一个“折中焦平面”。

4、光强不集中，能量效率降低
球差造成光束发散，使得聚焦光斑增大、光强在像面上分布不均匀，影响激光聚焦等需要高能量密度的场景。

5、产生光晕与眩光
由于边缘光线与中心光线聚焦位置不同，物空间中的强光会在像平面上形成额外的亮斑。

6、色差加剧
不同波长的光线入射到球面光学系统时会同时存在球差和色差，且两种像差大小均与波长相关，导致不同颜色的光会聚到不同点，进而产生色球差。最常见的现象就是照片紫边。

7、景深缩小
球差改变了光线的聚焦特性，导致实际弥散斑扩大，进而减少清晰成像的物方深度范围。

球差的校正

在实际应用中，有多种光学设计思路可以对球差进行校正，从而优化成像质量：

• 使用非球面光学元件：非球面透镜的表面设计通过对圆锥常数、非球面系数的调整，可以在球面的基础上进一步优化，最大程度地矫正像差。

图4 非球面透镜

• 组合式透镜校正球差：正透镜（凸透镜）通常产生正球差（S₁ > 0），负透镜（凹透镜）产生负球差（S₂ < 0），通过合理设计使正负球差相互抵消。典型的消球差设计采用低折射率冕牌玻璃做凸透镜，高折射率火石玻璃做凹透镜，通过优化材料选择、曲率半径和透镜间距，在保持系统焦距的同时消除球差。

图5 双胶合透镜

• 小孔径/限制光通设计：根据公式（5）&（6），减小系统孔径，仅使用光轴附近的光线（近轴光线），来减弱边缘球差影响，但是该方法会减少系统的通光量导致成像亮度降低。常见的例子便是调节相机的光圈大小。
• 齐明透镜：齐明点是光学折射面上的几对特殊的共轭点，在以下几种情况下，单折射面产生的球差为 0 。

图6 齐明透镜

1)  物和像均位于球面顶点处，此时物距和像距为 0 ，入射光线高度 h 恒为 0 ，此时无球差。
2）物和像均位于球心处，此时物距和像距满足关系 L=L’=r，该情况下入射光线无折射，因此不产生球差。
3）球心外侧的特殊位点，由公式（8）可得，当sinI’-sinU=0时，球差系数为 0 ，又因为 sinI’=nsinI/n’=n(L-r)sinU/n’r，可以得到物距 L=(n+n’)r/n ，像距 L’=(n’+n)r/n’ 。这种情况下，无论入射光的孔径角多大，系统都不会产生球差。